Calcul des forces de la tour Eiffel

Quand on veut calculer les sections et la forme que doit prendre une tour métallique comme la tour Eiffel, il faut avant tout prendre en compte deux types d'effort auxquels elle doit résister, en dehors des effets de la température : Les efforts dus aux charges verticales et ceux dus au vent. Ces derniers sont largement les plus importants : dans les parties hautes de la Tour le coefficient de travail dû au vent est presque le triple de celui dû aux charges. Dans les parties basses, il reste encore égal à la moitié environ de celui-ci. Pour être clair, l'effort dû aux charges correspond au poids de la tour sur elle-même, il ne faut pas qu'elle s'effondre. L'effort dû au vent porte bien son nom, c'est la contrainte latérale qu'elle subit dû au vent.

Ces deux types de charge sont décrits et calculés dans les textes suivants, mais avant tout il faut déterminer comment est la structure de la tour Eiffel, pour bien comprendre les calculs. Il y a donc trois parties sur cette page : La composition de la tour, dont le texte est ci-dessous, puis l'effet de la charge et enfin l'effet du vent, dont les calculs sont si complexes qu'ils sont accompagnées de nombreux schémas explicatifs ainsi que de tableaux donnant le résultat des calculs.

Mais avant tout, il faut commencer par des explications sur la forme générale d'une tour métallique si on veut bien comprendre comment est faite la tour Eiffel.

Formes générales d'une tour métallique avec ou sans tablier à soutenir

Le viaduc de Garabit

La première chose est de savoir qu'avant de se lancer dans le dessin des plans de la tour , Gustave Eiffel avait déjà fait de nombreuses constructions métalliques, en particulier pour des viaducs pour les chemins de fer. Il utilisa pour ça des piles en fonte en forme de colonnes rectangulaires, réunis régulièrement par des entretoises en fer. La forme générale est un empilement de caissons quadrangulaires ouverts du côté de l'intérieur de la pile, et dans lesquels viennent s'insérer de longues barres de contreventement de section carrée susceptibles de travailler aussi bien à la compression qu'à l'extension sous les efforts du vent. Ce type de construction était devenu habituel, Eiffel réalisant ainsi le pont du Douro à Porto (dont l'arche centrale comporte un arc métallique de 160 mètres d'ouverture et de 42m 50 de flèche), et le viaduc de Garabit (dans le Cantal) qui franchit la Truyère à une hauteur de 122 mètres. Ce viaduc est conçu de la même façon que celui du Douro, avec une longueur de 564 mètres et une arche centrale parabolique de 165 mètres d'ouverture et de 57 mètres de flèche. Le viaduc de Garabit est l'archétype du modèle de viaduc d'Eiffel, il a des piles en caissons de 61 mètres, uniquement pour la partie métallique. Une telle hauteur peut être atteinte grace à leur rigidité, et en plus, leur entretien est très facile.

Mais si l'on veut aborder des hauteurs encore plus grandes et dépasser 100 mètres par exemple, il devient nécessaire de modifier le mode de construction. En effet, si les pieds de la pile atteignent une largeur de 25 à 30 mètres nécessaire pour ces hauteurs, les diagonales d'entretoisement qui les réunissent prennent une telle longueur que, même établies en forme de caisson, elles deviennent peu efficaces et lourdes, il faut donc les supprimer et donner à la pile une forme telle que tous les efforts tranchants viennent se concentrer dans ses arêtes. Il faut donc réduire à quatre grands montants dégagés de tout treillis de contreventement, et réunis simplement par quelques ceintures horizontales très espacées.

Si la pile supporte un tablier métallique et que l'on tient compte de l'effet du vent sur le tablier (toujours plus important que l'effet du vent sur la pile elle-même) il suffira, pour pouvoir supprimer les barres de contreventement des faces verticales, de faire passer les deux axes des arbalétriers par un point unique placé sur le sommet de cette pile. Dans ce cas l'effort horizontal du vent pourra se décomposer directement suivant les axes de ces arbalétriers, et que ceux-ci ne seront soumis à aucun effort tranchant.

Si, au contraire, il s'agit d'une très grande pile, telle que la Tour Eiffel, il n'y a plus au sommet la réaction horizontale du vent sur le tablier, mais simplement l'action du vent sur la pile elle-même. Il faut, pour supprimer les barres de treillis, donner aux montants une courbure telle que les tangentes à ces montants, menées en des points situés à la même hauteur, viennent toujours se rencontrer au point de passage de la résultante des actions que le vent exerce sur la partie de la pile qui se trouve au-dessus des points considérés.

Enfin, si on veut tenir compte à la fois de l'action du vent sur le tablier supérieur et de celle que subit la pile elle-même, la courbe extérieure de la pile est moins infléchie et se rapproche de la ligne droite.

Une pile du viaduc de Garabit, en caissons

Si vous n'avez rien compris, ce n'est pas grave, regardez l'image de la pile du viaduc de Garabit ci-dessus, elle représente une des piles du viaduc avec sa forme de caisson. Sinon, vous en avez conclu que les constructions de piles sans entretoisements et à arêtes courbes sont les solutions pour l'édification de tours métalliques d'une hauteur quelconque, comme la tour Eiffel. On a donc le principe général de construction. On peut donc passer au plan.

Composition des éléments de la tour

Avant tout, il faut commencer par comprendre comment a été faite la tour, d'un point de vue général. Il ne s'agit que d'une succession de 29 panneaux (des sortes de tranches horizontales). Pour le calcul, on prend en compte la notion de sections, qui est expliquée ci-dessous. Aidez-vous largement des planches explicatives, elles sont là pour éclairer le propos.

Division en panneaux et sections

Elévation

Quant au mode de calcul, il diffère suivant que l'on considère la partie supérieure de la Tour, dans laquelle tous les arbalétriers sont réunis solidairement par un treillis (voir la description pour plus de détail), ou la partie inférieure formée par quatre piles isolés, dont chacun est constitué par quatre arbalétriers réunis par des treillis. La première partie s'étend depuis le campanile jusqu'au niveau de la deuxième plate-forme ; la seconde va de ce niveau à celui des appuis.

La charpente métallique est divisée en panneaux formés par les trapèzes indéformables déterminés par les entretoises horizontales, les portions d'arbalétriers inclinés et par les barres de treillis formant diagonales. Ces panneaux sont numérotés de 1 à 29, en commençant par le bas (voir planche XXXI).

Pour les calculs des efforts dans les arbalétriers et pour éviter toute confusion, les sections ont été numérotées différemment, en les désignant par des chiffres romains et en allant de haut en bas. La section I est celle qui se trouve à la partie inférieure du panneau 28, la section II à la partie inférieure du panneau 27, etc. La section XVII est située à la partie inférieure du panneau 11,au niveau de la deuxième plate-forme et sépare la partie supérieure de la Tour de la partie inférieure. La dernière section porte le n°XXVIII et se trouve à la partie basse du dernier panneau, au niveau de l'entretoise qui réunit les appuis.

Sections des arbalétriers et des treillis

Ces sections sont dessinées et calculées dans la planche XXXI, ce qui dispense d'en donner une description détaillée.

Arbalétriers, partie supérieure

Les diagrammes figures 1 et 2 indiquent la disposition des arbalétriers, lesquels comprennent, au niveau de la 2e plate-forme, quatre arbalétriers d'angle c, et deux arbalétriers intermédiaires b et d sur chacune des faces. A partir de la section XI, les arbalétriers intermédiaires se réunissent en un seul bd.

Nous désignerons par ω la surface de tous les arbalétriers d'une face et par Ω la surface de tous les arbalétriers des quatre faces.

Tableau des surfaces des sections des arbalétriers dans la partie supérieure, en millimétres carrés

Arbalétriers, partie inférieure

Les quatre montants qui composent l'ossature de la Tour au-dessous de la seconde plate-forme sont semblables. Ils se composent chacun de 4 arbalétriers d'angle a, b, c, d, dont la composition est donnée dans la planche XXXI. Dans le tableau suivant nous résumons les surfaces des sections de chaque arbalétrier ainsi que leur surface de section totale Ω.

Tableau des surfaces des sections des arbalétriers dans la partie inférieure, en millimétres carrés

Treillis

Les barres de treillis sont toutes en forme de caisson et sont composées de 4 cornières d'angle réunies par un petit treillis. Nous donnons ci-dessous les dimensions de ces cornières, ainsi que la surface des sections des barres.

Tableau des surfaces des sections des barres de treillis, en millimètres carrés

A présent que la structure est définie et que les poutres maîtresses sont calculées, voyons les calculs des forces dûes au poids de la tour Eiffel (ce qu'on nomme les efforts de charge, verticaux) et celles dûes au vent (efforts latéraux)