Calcul des forces dûes aux vents

Principe de la construction

Supposons, pour un instant, que nous ayons disposé dans les faces un treillis simple formant une paroi résistant aux efforts tranchants du vent, dont les composantes sont P', P", P''', P"" (fig. 8). On sait que pour calculer les efforts agissant dans trois pièces coupées par un plan NM, il suffit de déterminer la résultante P de toutes les forces extérieures agissant au-dessus de la section et de décomposer cette résultante en trois forces passant par les trois barres coupées.

Si la forme du système est telle que, pour chaque coupe horizontale MN, les deux arbalétriers prolongés ont leur intersection sur la direction de la force extérieure P, l'effort dans la barre de treillis sera nul et l'on pourra supprimer cette barre. C'est l'application de ce principe qui constitue une des particularités du système employé pour la construction de la Tour, au moins dans sa moitié inférieure, et qui en détermine la forme extérieure. Elle permet, en supprimant tout treillis dans la plus grande partie de sa hauteur, de la constituer par quatre montants isolés, simplement reliés au niveau du 1^er et du 2^e étage par des ceintures horizontales. On est conduit ainsi à infléchir la direction de chacun des éléments des montants suivant une courbe qui doit se confondre avec la courbe des pressions, si l'on se propose d'avoir des efforts tranchants nuls; maïs cela n'est réalisable que pour une hypothèse unique.

Comme nous nous proposons d'examiner plusieurs hypothèses sur la répartition du vent, nous aurons à tracer une fibre moyenne se rapprochant de la moyenne des courbes de pression, de manière à réduire à leur minimum les moments fléchissants qui peuvent se produire suivant l'une ou l'autre hypothèse. Remarquons que la courbe des pressions correspondant à un vent d'une intensité constante sur toute la hauteur de la Tour est indépendante de la valeur absolue de cette intensité et par suite que cette intensité n'a pas d'influence sur la forme même de la Tour. Comme les courbes de pression ne passent pas exactement au centre des montants, c'est-à-dire ne se confondent pas complètement avec la fibre moyenne, il en résulte des moments fléchissants et des efforts tranchants qu'il y a lieu de calculer.

Intensité du vent

Nous avons admis plusieurs hypothèses :

a. La première donne lieu, en général, aux fatigues maxima : c'est celle d'un vent de 300Kg par mètre carré agissant uniformément sur toute la hauteur de la Tour. D'après la formule généralement admise, P = 0,12V², dans laquelle P est la pression par mètre carré et V la vitesse, cette pression de 300Kg correspond à une vitesse de 50 mètres par seconde, qui est celle d'un grand ouragan. Quelle que soit l'incertitude qui règne sur la mesure même de pareilles vitesses, on peut être assuré qu'il n'en a jamais été observé de semblables dans nos régions, au moins aux environs du sol ; si elles se réalisaient, elles donneraient lieu à de véritables désastres. Une pression de 150Kg renverse les trains de chemin de fer, ainsi que cela a été observé à Rivesaltes, et celle de 270Kg est le maximum admis par la circulaire ministérielle du 29 août 1891, pour le calcul des ouvrages d'art. Ce dernier chiffre est celui qui est généralement adopté dans ces calculs.

Nous devons dire cependant que des rafales de 40 mètres de vitesse ont déjà été indiquées par les instruments placés au sommet de la Tour, toutes réserves faites sur la justesse de ces indications. Elles correspondent, d'après la formule, à des pressions de 200Kg par mètre carré. Mais, ainsi qu'il sera dit plus loin, nous avons des raisons de penser, d'après des expériences directes de pression, que la formule ci-dessus donne des résultats trop élevés et que le coefficient de 0,12 devrait se réduire à 0,09, ce qui donnerait en réalité pour des vents de 50 mètres, 225Kg de pression par mètre carré et pour des vents de 40 mètres, 150Kg de pression. Notre hypothèse de 300Kg correspondrait à un vent de 60 mètres par seconde ou 216 kilomètres à l'heure, lequel n'a jamais été observé. En admettant qu'il se produise à un certain moment au sommet, il diminuerait rapidement en se rapprochant du sol.

b. Cette considération nous a conduit à examiner une seconde hypothèse qui est également excessive quoique plus voisine de la réalité : c'est celle d'un vent atteignant 400Kg au sommet et diminuant progressivement pour se réduire à 200Kg à la surface du sol. En un point quelconque, situé à une hauteur h au-dessus du sol, l'intensité du vent sera de 200Kg +— x h.

Avec le coefficient de 0.12 les vitesses respectives correspondantes sont de 58 mètres au sommet et 40 mètres à la base; avec le coefficient de 0,09, les vitesses seraient de 66 mètres et de 47 mètres. Ces deux hypothèses conduisent aux extrêmes limites des coefficients de travail et ce sont elles qui nous ont servi à déterminer les sections des divers éléments de la Tour. Néanmoins, une fois les sections déterminées il nous a paru utile, pour rentrer dans les probabilités maxima de la pratique, de rechercher ce que deviennent les coefficients extrêmes dans le cas d'un vent variant de 300Kg au sommet à 100 kilos à la surface du sol.

Surfaces offertes au vent

Les surfaces présentées au vent sont déterminées en supposant que le vent agisse normalement aux faces, dans une direction horizontale ; ce qui revient à les évaluer en les comptant dans leur projection verticale. Les surfaces pleines (planchers, galeries, restaurants, etc.) ont été naturellement comptées dans leur totalité. Pour la détermination des surfaces évidées, nous avons admis que la première paroi normale au vent est entièrement frappée par celui-ci avec sa pleine intensité et que les parois voisines qu'elle protège partiellement sont aussi frappées entièrement, mais par un vent dont l'intensité est diminuée dans le rapport des vides aux pleins de la paroi antérieure. Cela revient à dire que pour une même intensité du vent, si s₁, et s₂ représentent les surfaces des pièces rencontrées par le vent sur la première et la deuxième face, S₁ la surface de la première face supposée entièrement pleine, nous aurons à compter pour la seconde face une surface de S₂ = s₂ x (S₁ - s₁) / S₁.

Nous avons appliqué la même méthode pour déterminer les surfaces offertes au vent par les barres de treillis et les entretoises qui sont en forme de caisson et dont les 4 cornières d'angle sont réunies entre elles par un petit treillis. Cette hypothèse n'est plus exacte quand la distance entre la première surface frappée et celle qui est derrière devient grande ; car, par suite de cette distance, le vent reprend son intensité première. Aussi dans la partie intermédiaire entre la première et la deuxième plate-forme, nous avons admis que le vent frappait également tous les montants. A la base de la Tour, en raison du grand nombre et de l'importance des pièces de liaison qui réunissent les arbalétriers, nous avons été encore plus loin : nous avons admis que les quatre montants étaient pleins ou plus exactement qu'ils étaient remplacés par leur projection pleine sur le plan vertical et qu'en outre ils étaient tous également frappés. Ce mode de calcul conduit à peu près aux mêmes résultats que l'application des règles précédentes, ainsi que nous avons pu nous en rendre compte, mais il est plus simple.

Division en éléments

Dans la suite des calculs, nous admettrons que l'action du vent se trouve concentrée en un certain nombre de points convenablement répartis sur toute la hauteur de la Tour. Nous avons, à cet effet, divisé la Tour par des plans horizontaux en 28 éléments ou surfaces frappées. A chacune d'elles correspond un effort du vent que nous appliquerons au centre de l'élément.

Cette division de la Tour en éléments est indiquée dans la planche XXXIII. Chaque élément courant comprend deux demi-panneaux adjacents et comme les hauteurs de deux panneaux successifs ne diffèrent jamais beaucoup l'une de l'autre, le centre d'action du vent sur un élément peut être considéré comme situé sur l'entretoise horizontale qui sépare les deux panneaux; ainsi sur chacune de ces entretoises se trouve concentrée la moitié des efforts qui agissent sur les deux panneaux adjacents

Surfaces des éléments, efforts du vent par élément et moments de renversement correspondants

Nous avons reporté dans un appendice le calcul détaillé des surfaces de chacun des panneaux et nous donnons dans le tableau ci-dessous les surfaces correspondant à chacun des éléments 0 à 28, ainsi que les efforts P dus au vent dans les deux hypothèses, obtenus en multipliant les surfaces par 300Kg et 200 + 200/300 x h Kilos. Nous inscrirons dans le même tableau les hauteurs k du centre des éléments au dessus de la base ainsi que le moment de renversement PA correspondant.

Il résulte de ce tableau que l'ensemble de la Tour présente au vent une surface de 8515,19, que le vent, dans les deux hypothèses, y exerce des efforts qui sont respectivement de 2554 tonnes et 2185 tonnes, enfin que les moments de renversement totaux sont respectivement de 216.866 tonnes-mètres et 215.588 tonnes-mètres; c'est-à-dire qu'au point de vue de cet effet, les deux hypothèses sont à peu près équivalentes. Dans la première hypothèse, le centre d'action du vent est situé à une hauteur de 216 866 / 2 554 = 84,9m au-dessus des appuis; dans la deuxième 215 388 / 2 185 = 98,55m

Nous allons maintenant, étant connus les efforts, en examiner l'effet sur chacune des parties de la Tour. Mais il faut pour cela considérer successivement, soit la partie supérieure, c'est-à-dire celle située au-dessus du 2^e étage, dans laquelle tous les montants sont solidairement réunis ; soit la partie inférieure, c'est-à-dire celle allant du 2^e étage au sol, dans laquelle les quatre montants sont distincts et ne sont plus réunis que par les ceintures du 1^er et du 2^e étage.

Calcul des efforts moléculaires dus au vent dans la partie supérieure

Arbalétriers

Les arbalétriers de chacune des faces étant rendus solidaires par leurs treillis, le calcul des efforts se fait simplement à l'aide des moments fléchissants.

Soit M le moment fléchissant de tous les efforts du vent agissant au-dessus de la section MN, ω la section des 3 arbalétriers de la face cc frappée par le vent ou celle de la face opposée c'c'; e l'écartement horizontal des centres des faces opposées, et E l'effort dans une face; la valeur de ce dernier sera M/e et le coefficient de travail R₁ = E / ω en admettant que les arbalétriers soient sensiblement verticaux et que les arbalétriers b'd', voisins de la fibre neutre, aient un moment de résistance négligeable. En faisant le calcul pour la région voisine du 2^e étage, dans laquelle les arbalétriers bd sont séparés et en y introduisant le moment d'inertie exact, tenant compte de ces arbalétriers, il serait facile de reconnaître que, même en ces points, leur influence est négligeable et n'affecte le coefficient de travail que de 0,2Kg environ.

La courbe des moments fléchissants est tracée dans la planche XXXIII, fig. 3, pour chacune de ces deux hypothèses, à l'aide des polygones des forces, figures 1 et 2. L'échelle des longueurs étant de 0,002 par mètre et les distances polaires étant de 800 000 kilos, il en résulte pour les moments une échelle de 0,002 / 800 000 = 0,0025 pour 1 000 000 kgm. Ils peuvent être directement lus sur l'épure.

Pour les calculer numériquement, on se sert de la considération suivante : Soient deux sections S_n et S_n+1, séparées par la hauteur h_n du panneau, dans lesquelles M_n, et M_n+1 sont les moments fléchissants, T_n et T_n+1 sont les efforts tranchants et soit P_n l'effort du vent dans la section S_n.

On a M_n+1 = M_n + (T_n + P_n) n_n ou M_n+1 = M_n + T_n + h_n ce qui permet de déduire chaque moment du moment précédent, en y ajoutant le produit de l'effort tranchant au point considéré par la hauteur du panneau. C'est ainsi que l'on a établi les chiffres inscrits dans le tableau qui va suivre de la section I jusqu'à la section XVII. Comme vérification, nous avons aussi déterminé directement pour cette section XVII,le moment fléchissant correspondant à chacune des deux hypothèses; il est la somme de tous les moments partiels dus aux efforts du vent agissant au-dessus de cette section; nous donnerons d'abord ce tableau.

Calcul du moment fléchissant dans la section XVII

Les moments dans cette section sont ainsi de 50 923 218m. kg. dans la 1^ere hypothèse et de 59 745 250m. kg. dans la deuxième. Dans le tableau ci-dessous nous avons résumé les éléments du calcul pour chacune des sections, comme moments fléchissants et comme efforts tranchants, ainsi que les efforts dans les faces et les coefficients de travail dans les arbalétriers.

Calcul du moment fléchissant, de l'effort tranchant et du coefficient de travail dans les arbalétriers pour chacune des actions au-dessus de la section XVII

Le travail maximum dû au vent dans les arbalétriers a lieu dans la section XVII où il atteint 7,4Kg et 8,8Kg par millimètre carré.

Treillis

Nous admettrons que les efforts des treillis coupés par une même section horizontale MN se répartissent également entre toutes les barres des parois résistantes. On calculera donc l'effort F suivant ces barres comme si l'une d'elles, AD par exemple, était seule, et comme le nombre des barres résistantes est de 8, soit 4 par paroi, on admettra que l'effort pour chacune des barres est de F/8.

L'effort F s'obtient en décomposant la force extérieure en 3 forces passant par les arbalétriers A'A, BB' et par les barres A'D.

Il suffit pour cela (fig. 11) de prolonger les directions AA', BB' jusqu'à leur point de rencontre O, et la direction A'D jusqu'au point de rencontre C avec celle de la résultante des forces extérieures P, puis de joindre CO et de construire le polygone des forces de la figure 12; sa ligne de fermeture parallèle à A'D donne l'effort F cherché. La position de la force extérieure P elle-même est obtenue pour chaque section MN, au moyen du polygone funiculaire des moments fléchissants dus au vent (fig. 11), en déterminant l'intersection K de son premier élément vertical avec la prolongement de l'élément coupé.

On aurait pu prendre la barre DB' et on aurait obtenu le même effort d'une façon semblable, en raison de la symétrie des barres A'D et DB'. Quant aux barres AE ou EB, on obtiendrait des efforts légèrement supérieurs, mais assez peu différents pour qu'il y ait lieu d'en tenir compte; c'est pour ce motif que nous avons considéré seulement la barre A'D et que nous avons donné aux autres la même section. Pour la clarté de la figure d'ensemble, planche XXXIII, nous avons rabattu la force F sur la direction de la force P. (fig. 12). Le tableau ci-dessous donne pour chaque section, dans les deux hypothèses, la valeur de l'effort F, F celle de l'effort dans chaque barre, la section de celle-ci et le travail correspondant.

Calcul des efforts et des coefficients de travail dans les barres de treillis au-dessus de la section XVII

Le coefficient de travail moyen est aux environs de 5 à 6 kilos.

Calcul des efforts moléculaires dus au vent dans la partie inférieure

Principes des calculs

Soient P₁, P₂, P₃,... les différentes composantes du vent agissant sur la Tour à des hauteurs h₁, h₂, h₃,... au-dessus de la base AA'.

Supposons tracé le polygone funiculaire de ces forces, pour la partie inférieure seulement (fig. 13), à l'aide du polygone des forces (fig. 14) dans lequel les efforts sont portés horizontalement et dont la distance polaire est V'.

Soit M = ΣP_nh_n le moment de renversement total de tous les efforts du vent P₁, P₂, P₃, ... par rapport à la base AA' de la Tour. Le moment dans une section quelconque MN est M_n = x_nV', à la base il est M = xV', expressions dans lesquelles x_n, et x représentent les abscisses du polygone funiculaire dans la section MN et à la base (fig. 13). Quant à la distance polaire V, elle est arbitraire : pour avoir celle correspondant au polygone funiculaire passant par les appuis, il suffît de poser M = 50,7 V, 50,7 étant l'abscisse du centre des montants à la base; d'où l'on tire V = M / 50,7. Ce polygone funiculaire est alors en même temps la courbe des pressions des efforts du vent.

Comme nous ne déterminons les efforts que pour un seul montant, il est plus simple de porter dans le polygone des forces, au lieu des efforts totaux P, le quart de ces efforts pour obtenir directement l'effort dans un montant.

La courbe des pressions correspondant à ces efforts ρ₁ = P₁ / 4, ρ₂ = P₂ / 4, etc., est à tracer avec une distance polaire v = V / 4 (fig. 15 et 16).

Pour une section MN (fig. 15) la force extérieure q sur un montant est donnée dans le polygone des forces (fig. 16). Les efforts dans les montants sont des efforts de tension q dans les deux premiers montants A' et B' frappés par le vent, et des efforts symétriques de compression q dans les deux autres montants A et B (fig. 17). Nous ne considérons que les montants où le vent produit des efforts de compression qui viennent s'ajouter à ceux qui sont produits par le poids propre de la construction. La force extérieure q produit dans la section MN :

• Un effort de compression N agissant dans la fibre moyenne du montant
• Un effort tranchant T normal à cette fibre moyenne.
• Des moments fléchissants provenant de ce que la courbe des pressions ne passe pas dans cette section au même point que la fibre moyenne, c'est-à-dire par l'axe du montant.

Efforts de compression et efforts tranchants

Ces efforts s'obtiennent pour chaque section en décomposant dans le polygone des forces (fig. 18) la force extérieure q en deux forces, l'une OC parallèle à la direction de la fibre moyenne dans la section MN, l'autre CD normale à cette même direction.

Cet effort CD est l'effort tranchant T que l'on décomposera suivant les directions des barres de treillis du panneau coupé par la section MN ; on aura ainsi l'effort produit par le vent dans ces barres.

Quant à l'effort de compression OC, comme le montant est incliné suivant le plan diagonal de la Tour, cet effort qui agit dans un plan vertical est encore à décomposer suivant la direction du montant dans la face perpendiculaire à la figure (fig. 18). Cette décomposition peut se faire très simplement de la manière suivante :

Du pôle O du polygone des forces comme centre, on trace un arc de cercle quelconque allant du point 1 situé sur la verticale du pôle jusqu'au point de rencontre K avec OC. Du point K, on élève une perpendiculaire KL à OC et du point I, une perpendiculaire IL à KL; on obtient ainsi le point L, intersection de ces deux lignes. En décomposant la composante OC suivant la direction de OL, on obtient l*effort de compression N*=OE dans le montant. L'angle CEO est en effet égal à l'inclinaison en rabattement de la fibre moyenne dans l'une des faces du montant.

En effet, MN étant un plan horizontal (fig. 20), pour avoir OL, connaissant OK, il suffit d'avoir la longueur KL = KG et de la porter sur une perpendiculaire à OK élevée au point K. Or, comme nous l'avons démontré précédemment, à propos des charges verticales, G est sur l'horizontale menée par K, et KG ramenée en KL donne le point L cherché (fig. 18). On voit de suite que la construction indiquée ci-dessus, au moyen des perpendiculaires KL et IL, se ramène à celle-ci ; elle définit graphiquement le point L très exactement. Cet effort N qui agit au centre O du montant dans la section MN, se répartit également entre les quatre arbalétriers a, b, c et d (fig. 21) et donne dans chacun d'eux un effort de compression E₁ = N / 4.

Les courbes de pression qui correspondent aux deux cas de surcharge du vent ont été tracées dans l'épure de la Planche XXXII, fig. 3, à l'aide des polygones des forces fig. 1 et fig. 2, qui n'ont été déterminés que pour les sections de la partie inférieure. La distance polaire de chacun d'eux est égale au quart du moment de renversement M divisé par le demi-écartement des montants à la base, soit 50,70m. Dans la première hypothèse, nous avons vu que le moment de renversement est de 216 866 479 m. k. On a donc v_n = I / 4 x 2l6 866 479 / 70,70 = 1 069 350 Kg.

Dans la deuxième hypothèse, le moment de renversement est de 215 388 260 m. k. et la distance polaire est de v_n =I / 4 x 215 388 260 / 50,70 = 1 062 050 Kg. Les efforts tranchants sont également déterminés dans les mêmes polygones.

Moments fléchissants

Le couple qui les produit peut se décomposer en deux; l'un μ qui agit dans un plan parallèle à la direction du vent XY, l'autre transversal μ' qui agit dans un plan perpendiculaire ZU (fig. 22). Le premier est dû au désaxement de la force extérieure dans le sens de la direction du vent, et le second au désaxement dans le sens normal à la direction du vent, ainsi que l'indiquent les figures 23, 24, 25 et 26 ci-dessous.

Détermination des moments parallèles a la direction du vent

Pour la détermination de ces moments, il faut avoir les projections de la courbe de pression sur les plans XY et ZU. La première est donnée par le polygone funiculaire (fig. 15, p. 34) correspondant aux forces horizontales de renversement (Planche XXXII, fig. 3). En appelant e l'écartement horizontal de cette courbe de pression par rapport à la fibre moyenne pour une section quelconque MM' (fig. 27), le moment fléchissant de la force extérieure F est égal à Fθ, θ étant la distance normale : par suite de triangles semblables formés avec le polygone des forces, e / θ = F / v, donc Fθ = ve. Nous désignerons ce moment dans le plan vertical par μ, on aura ainsi μ = ve.

Ce moment doit être projeté suivant la face du montant. Pour cela, il suffit de représenter le moment μ, agissant dans le plan XY, par son axe représentatif et de le composer avec le moment μ cherché, dont l'axe est perpendiculaire au plan de la face B du montant; on a ainsi μ₁ = μ / sin α, α étant l'inclinaison de la face du montant sur l'horizontale (fig. 28).

Il est facile de calculer l'expression μ / sin α. En effet e = a - d (fig. 23), c'est-à-dire la différence entre l'abscisse de la fibre moyenne, par rapport à l'axe vertical dans le plan vertical des montants, donnée par le diagramme de l'élévation (Planche XXXI) et l'abscisse de la courbe de pression qui se calcule à l'aide des moments de renversement. Comme M = dv, on en tire d = M / v.

Les valeurs de M sont calculées numériquement à l'aide du tableau précédent, comme nous l'avons fait pour la partie supérieure, par les mêmes formules M_n+1 = M_n + T_n+1 + h_n. Quant aux angles α, ils sont déterminés sur le même diagramme de l'élévation par leur tangente (fig. 29) : h étant la hauteur du panneau dont d et d' sont les abscisses, tg α = h / (d - d') d'où l'on tire les valeurs de sin α.

Enfin v est la distance polaire, égale à V / 4, des polygones des forces (Planche XXXII, fig. 1 et 2).

Quant à l'effort produit dans les arbalétriers sous l'action du moment μ il est égal pour une face à E = I / 2 x μ / i, i désignant l'écartement normal des arbalétriers dans leurs faces rabattues (fig. 30). Le tableau ci-dessous résume tous les éléments pour les deux hypothèses.

Calcul des efforts dans les arbalétriers dus aux moments fléchissants agissant dans le plan parallèle àla direction du vent.

En ce qui concerne les signes, nous donnons toujours le signe positif aux couples qui tournent autour du centre O du montant dans le sens des aiguilles d'une montre. Pour une valeur positive de μ, cette valeur de E, est une compression sur l'arbalétrier a et un effort de tension sur l'arbalétrier c, aussi bien quand le vent agît dans la direction XY que quand il agit dans la direction UZ.

Au contraire, pour les arbalétriers b et d, l'effort E_n représente, soit de la tension, soit de la compression, suivant que le vent agit dans l'une ou l'autre de ces directions. On a donc, en supposant positifs les efforts de compression :

• Dans l'arbalétrier a, un effort + E = μ / 2i
• Dans l'arbalétrier c, un effort - E = μ / 2i

Quand le vent agit suivant la direction XY, on a :

• Dans l'arbalétrier b, un effort + E = μ / 2i
• Dans l'arbalétrier d, un effort - E = μ / 2i

Quand il agit dans la direction UZ, les efforts dans ces deux arbalétriers changent de signe.

Détermination des moments normaux à la direction du vent

Les efforts dus aux moments fléchissants transversaux se déterminent d'une manière analogue.

Le moment fléchissant μ de la section MN, produit par le désaxement de la force extérieure dans le plan vertical UZ normal au vent, est égal au produit de la distance polaire v du polygone des forces par l'écartement horizontal e' de la fibre moyenne et de la corde (fig. 26); c'est-à-dire que l'on a μ = ve'; ce moment agit dans le plan vertical UZ.

Pour obtenir le moment correspondant rabattu dans la face, on fera une décomposition analogue à celle qui a déjà été faite pour le couple μ du plan XY parallèle à la direction du vent. On trouve ainsi dans la face du montant un moment qui est égal à μ_n' = μ_n' / sin α_r et qui produit dans les arbalétriers a, b, c, d des efforts E_α = μ' / 2i. Ces efforts sont toujours positifs pour l'arbalétrier a, et négatifs pour l'arbalétrier c, en supposant μ' positif. C'est-à-dire qu'on a :

• Dans l'arbalétrier a, un effort + E = μ / 2i
• Dans l'arbalétrier c, un effort - E = μ / 2i

Quand le vent agit suivant la direction XY, on a :

• Dans l'arbalétrier b, un effort + E = μ / 2i
• Dans l'arbalétrier d, un effort - E = μ / 2i

Quand il agit dans là direction UZ, les efforts dans ces deux derniers arbalétriers changent de signe. Ces moments ont été calculés pour les sections XIX, XX, XXI et XXII dans le tableau ci-dessous par la méthode que nous venons d'indiquer. Dans toutes les autres sections, ils sont nuls. Dans le sens normal au vent, les efforts se transmettent suivant la corde de la fibre moyenne entre deux ceintures. Les abscisses d de cette corde, ainsi que les abscisses a de la fibre moyenne, sont indiquées dans la figure 31 ci-dessus et se trouvent dans le tableau qui donne aussi les valeurs e' = a — d' celles de sin α, de i, ainsi que les moments μ' = e'v et μ' = μ' / sin α_n qui correspondent aux deux hypothèses de surcharge du vent, et les efforts E_n = μ' / 2i.

Calcul des efforts dans les arbalétriers dus aux moments transversaux.

Calcul des efforts totaux dus au vent dans les arbalétriers et coefficients de travail maximums

Nous avons maintenant tous les éléments pour résumer les efforts totaux dans les arbalétriers, c'est-à-dire les efforts longitudinaux suivant la fibre moyenne et les efforts dus au couple de désaxement. Ces efforts, en supposant les moments μⁿ et μⁿ' positifs, sont :

• Dans l'arbalétrier a, un effort E₄ = E₁ + E₂ + E₃
• Dans l'arbalétrier c, un effort E₄ = E₁ - E₂ - E₃

Quand le vent agit suivant la direction XY, on a :

• Dans l'arbalétrier b, un effort E₄ = E₁ + (E₂ - E₃)
• Dans l'arbalétrier d, un effort E₄ = E₁ - (E₂ - E₃)

Quand le vent agit suivant la direction UZ, on a :

• Dans l'arbalétrier b, un effort E₄ = E₁ +-(E₂ - E₃)
• Dans l'arbalétrier d, un effort E₄ = E₁ + (E₂ - E₃)

Comme le vent peut agir soit sur une face soit sur l'autre, nous choisirons le cas qui donne sur les arbalétriers b ou d les plus grands efforts, lesquels sont ainsi de :

• E_N = E₁ + (E₂ - E₃) si E₂ - E₃ > 0
• E_N = E₁ - (E₂ - E₃) si E₂ - E₃ < 0

Ces efforts sont résumés dans le tableau ci-dessous pour les deux hypothèses.

Calcul des efforts totaux dus au vent dans les arbalétriers.

U est facile d'en déduire le coefficient de travail des arbalétriers, dont la section est connue; c'est ce que nous donne le tableau ci-dessous :

Calcul des coefficients maximums de travail dus au vent dans les arbalétriers.

Ces coefficients devront être ajoutés à ceux dus aux poids propres.

Calcul des efforts dûs au vent dans les barres de treillis et coefficients de travail correspondants

Ces efforts, ainsi que les coefficients de travail correspondants, sont résumés dans le tableau ci-dessous :

Nous avons admis dans les calculs précédents l'hypothèse d'un vent frappant la Tour normalement à l'une de ses faces; nous allons examiner maintenant le cas d'un vent agissant dans une direction quelconque et montrer que les efforts qu'il produit sont égaux ou inférieurs à ceux déjà calculés. Dans ce but, considérons un prisme quadrangulaire ABCD de largeur a, et d'une hauteur égale à l'unité (fig. 52).

Si un vent d'une intensité p agit normalement à l'une de ses faces, il produit sur le prisme un effort pa. Quand, au contraire, le vent rencontre la face AB du prisme sous un angle α, il produit sur cette face un effort normal qui a pour valeur pa sin α. L'effort correspondant du vent sur la face CB est égal à pa cos α.

Donc, si P₁, P₂, ... P_n représentent les efforts du vent agissant sur la Tour normalement à l'une de ses faces, un vent de même intensité, venant frapper la face AB sous un angle α, produira sur cette face des efforts P₁ sin α, P₂ sin α, etc. et sur la face normale CB des efforts P₁ cos² α, P₂ cos² α, ... P_n cos² α.

Il suffira, par conséquent, d'examiner séparément les efforts produits par les forces P² sin α normales à la face AB et ceux que donnent les forces P cos² α normales à la face BC, d'en faire ensuite la somme pour avoir les efforts totaux dus au vent.

Voir aussi :

Tous les calculs

Histoire de la tour Eiffel